Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M стороны AD. Докажите, что M - середина AD.

Напомню определение параллелограмма, потому что итог данной задачи будет основываться именно на этом. Параллелограмм-это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны и равны.

Оттолкнемся в решении данной задачи от того, что уже известно или есть. У нас есть биссектриса угла АВС. Биссектриса-это отрезок, делящий угол на две равные части, значит угол АВМ = углу МВС. В свою очередь, угол МВС = углу ВМА. Почему? Потому что данные углы являются накрестлежащими при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущей ВМ.

Сделаем вывод:

угол АВМ = углу ВМС

угол ВМА = углу ВМС, что показывает нам, что угол АВМ=углу ВМА.

Данные углы находятся в треугольнике АВМ. Зная, что два угла данного треугольника равны, можем сделать заключение, что треугольник АВМ равнобедренный. По определению равнобедренного треугольника боковые стороны равны, т. е. АВ=АМ.

Точно такие рассуждения применяем для биссектрисы угла DСВ:

МС-биссектриса, угол DCМ = углу МСВ, угол МСВ = углу СМD (накрестлежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей МС), значит угол DCM = углу, т. е. треугольник СМD равнобедренный, МD=СD.

В итоге:

АВ=АМ

СD=МD

АВ=CD (параллельные стороны параллелограмма равны), что дает нам право говорить, что АМ=МD, т. е М-середина АD.

Ответ: М-середина АD.