Основания трапеции равны 20 см и 12 см. Центр описанной окружности лежит на большем основании. Найдите площадь трапеции.

Давайте начнем с того, что вспомним, что вписать в окружность можно только равнобедренную трапецию.

Из условия известно, что центр окружности находится на большем основании, значит угол, образованный боковой стороной и диагональю, равен 90°, поскольку он опирается на диаметр.

Введем обозначение трапеции ABCD.

Тогда BC = 12, AD = 20.

BH - высота.

Применим свойство высоты прямоугольного треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная из тупого угла, делит основание на отрезки, меньший из которых равен полу разности оснований, больший - их полусумме.

AH = (АD - BC) : 2 = (20 - 12) : 2 = 4;

DH = (АD + BC) : 2 = 16.

Применим свойство высоты прямоугольного треугольника: высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

BH^2 = AH * DH;

BH = √4 * 16 = 8;

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.

S = 8 * 16 = 128 кв. единиц.