Найдите площадь полной поверхности конуса если образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов а высота равна 6 сантиметров

Конус - это тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг своего катета.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его основания и площади боковой поверхности:

S_{п. п.} = πrL + πr².

Вычислим длину образующей и радиус этого конуса.

Рассмотрим треугольник, образованный осевым сечением конуса. Данный треугольник есть равнобедренным, боковые стороны которого являются образующей, основание - диаметром, а высота треугольника равна высоте конуса.

Так как высота равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, то для вычисления боковой стороны рассмотрим один из них.

Так как известно высоту и угол противолежащий ей, то для вычисления боковой стороны применим теорему синусов:

sin α = h / L;

sin 60º = 0,866;

L = h / sin α;

L = 6 / 0,866 = 6,9 см.

Для вычисления второго катета данного треугольника воспользуемся тангенсом угла α:

tg α = h / L;

tg 60º = 1,732;

r = h / tg α;

r = 6 / 1,732 ≈ 3,5 см.

S_{п. п.} = (3,14 · 3,5 · 6,9) + (3,14 · 3,5²) = 75,831 + 38,465 = 114,296 ≈ 114,3 см².

Ответ: площадь полной поверхности конуса равна 114,3 см².