Что такое площадь квадрата?

Площадью квадрата называется часть плоскости, которая ограничивается сторонами этого квадрата.

Квадрат является частным случаем прямоугольника, то его площадь можно найти как произведение одной его стороны на другую, а так как все стороны квадрата равны, то его площадь будет равна квадрату длины его стороны:

S = a².

Также площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d), то есть:

S = d²/2.

Диаметр окружности, описанной около квадрата совпадает с диагональю этого квадрата, тогда его площадь можно найти и через длину диаметра (D) описанной окружности:

S = D²/2.

Так как диаметр окружности в 2 раза больше, чем ее радиус, то площадь квадрата можно найти и через радиус описанной окружности:

S = (2 * R) ²/2 = (4 * R²) / 2 = 2 * R².

Квадрат - это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все стороны равны. Площадь квадрата можно найти тремя способами:

Через сторону квадрата. Через периметр квадрата. Через диагональ квадрата.

Рассмотрим каждый из методов нахождения площади квадрата.

Вычисление площади квадрата через его сторону

Пусть a - сторона квадрата. Так как у квадрата все стороны равны, то каждая сторона квадрата будет равна a. В таком случае площадь квадрата S можно вычислить по формуле:

S = a * a = a². Например, пусть сторона квадрата равна 5, тогда его площадь будет такой:

S = 5² = 25.

Вычисление площади квадрата через его периметр

Пусть P - это периметр квадрата. Периметр - это сумма всех сторон, то P = a + a + a + a = 4 * a. Так как S = a² (по раннее записанной формуле), то из периметра можно выразить a:

a = P / 4. Тогда S = P² / 16. Например, известно, что периметр квадрата равен 20, тогда, можно найти его площадь: S = 20² / 16 = 400 / 16 = 25.

Вычисление площади квадрата через его диагональ

Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его катеты равны a и a (две стороны квадрата), а гипотенуза равна диагонали квадрата (d). По теореме Пифагора вычислим гипотенузу:

d² = a² + a²;

d² = 2 * a²;

d = a * √2.

В таком случае площадь квадрата запишется так: S = d² / 2. Например, дана диагональ квадрата: d = √18, значит площадь квадрата будет такой: S = (√18) ² / 2 = 18 / 2 = 9.

Все эти формулы удобны для вычисления площади квадрата.