Найти полную поверхность равностороннего конуса, если его высота равна 3 дм.

Решение. Полная поверхность конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности: Sпол = Sосн + Sбок. В основании конуса лежит круг, его площадь находят по формуле Sосн = π ∙ R², площадь боковой поверхности находят по формуле Sбок = π ∙ R ∙ L, где R - радиус круга, лежащего в основании, L - образующая конуса. Из условия задачи известно, что высота конуса Н = 3 дм и что он равносторонний, то есть его осевое сечение является равносторонним треугольником, тогда L = 2 ∙ R. Получаем, Sпол = π ∙ R² + π ∙ R ∙ L = π ∙ R² + π ∙ R ∙ 2 ∙ R = 3 ∙ π ∙ R². Из полученного в сечении треугольника по теореме Пифагора находим, что R² = Н²/3. Тогда Sпол = 3 ∙ π ∙ Н²/3 = π ∙ Н². Подставим числовое значение высоты, получим Sпол = π ∙ (3) ² = 9 ∙ π ≈ 28, 26 (дм²). Ответ: площадь полной поверхности конуса ≈ 28, 26 дм².