1) даны векторы m = (1; 0) и n = (0; 1). является ли перпендикулярными векторы: 2m+n и m-2n2) даны точки А (1; 1), B (2; 3), С (0; 4), D (-1; 2). докажите, что четырехугольник ABCD - прямоугольник.

Question

Анна Федорова

Геометрия

16 февраля, 07:57

1) даны векторы m = (1; 0) и n = (0; 1). является ли перпендикулярными векторы: 2m+n и m-2n2) даны точки А (1; 1), B (2; 3), С (0; 4), D (-1; 2). докажите, что четырехугольник ABCD - прямоугольник.

+3

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Александр Коновалов · Answer 1

1. 2m + n = (2 * 1 + 0; 2 * 0 + 1) = (2; 1).

m - 2n = (1 - 2 * 0; 0 - 2 * 1) = (1; - 2).

Скалярное произведение векторов (2m + n) * (m - 2n) = 2 * 1 + 1 * ( - 2) = 2 - 2 = 0.

Т. к. скалярное произведение векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

2. Вектор АВ = (2 - 1; 3 - 1) = (1; 2).

Вектор ВС = (0 - 2; 4 - 3) = ( - 2; 1).

Вектор АD = ( - 1 - 1; 2 - 1) = ( - 2; 1).

Вектор DC = (0 + 1; 4 - 2; ) = (1; 2).

| AB | = √ (1 + 4) = √5.

| BA | = √ (4 + 1) = √5.

| AD | = √ (4 + 1) = √5.

| DC | = √ (1 + 4) = √5.

| AB | = | DC |.

| BC | = | AD |.

Скалярное произведение векторов AB * AD = 1 * ( - 2) + 2 * 1 = - 2 + 2 = 0.

Векторы АВ и АD перпендикулярны.

AB * BC = 1 * ( - 2) + 2 * 1 = - 2 + 2 = 0.

Векторы АВ и ВС перпендикулярны.

BC * DC = - 2 * 1 + 1 * 2 = - 2 + 2 = 0.

Векторы ВС и DС перпендикулярны.

AD * DC = - 2 * 1 + 1 * 2 = - 2 + 2 = 0.

Векторы АD и DС перпендикулярны.

Т. к. противоположные стороны четырехугольника равны и все углы прямые, то четырехугольник АВСD - прямоугольник.