Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 8 см и 6 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, диагонали которой АС и BD взаимно перпендикулярны и АС = 8 см, BD = 6 см.

Из вершины С проведём прямую СК, параллельную ВD, получим четырёхугольник BCКD, который является параллелограммом, так как:

* СК || ВD (по построению),

* ВС || DК (отрезки лежат на параллельных основаниях трапеции ABCD).

В параллелограмме BCКD стороны СК = ВD = 6 см и DК = ВС.

В треугольнике АСК сторона АК = АD + DК = АD + ВС. Угол АСК прямой, так как СК || ВD и АС ⊥ ВD, значит, АС ⊥ СК.

По теореме Пифагора АК² = АС² + СК², получаем:

АК² = 8² + 6²;

АК = 10 см или АD + ВС = 10 см.

Средняя линия трапеции MN равна полусумме оснований трапеции:

MN = (АD + ВС) : 2; MN = 10 : 2 = 5 (см).

Ответ: средняя линия трапеции имеет длину 5 см.