Медиана проведенная из вершины прямого угла разбивает треугольник АВС на 2 треугольника. Периметр которых 8 и 9. найти стороны

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Медиана CM делит гипотенузу AB на отрезки AM и BM, тогда:

CM = AM = BM = x.

По условию:

- периметр △AMC = AM + CM + AC = x + x + AC = 2 * x + AC = 8;

- периметр △ВMC = ВM + CM + BC = x + x + BC = 2 * x + BC = 9.

По теореме Пифагора:

AC = √ (AB² - BC²) = √ ((AM + BM) ² - BC²) = √ ((x + x) ² - BC²) = √ ((2 * x) ² - BC²) = √ (4 * x² - BC²).

2. Решим систему из трех уравнений:

2 * x + AC = 8;

2 * x + BC = 9;

AC = √ (4 * x² - BC²).

Выражение AC из третьего уравнения подставим в первое:

2 * x + √ (4 * x² - BC²) = 8;

√ (4 * x² - BC²) = 8 - 2 * x;

4 * x² - BC² = 64 - 32 * x + 4 * x²;

- BC² = 64 - 32 * x;

BC² = 32 * x - 64;

BC = √ (32 * x - 64).

Полученное выражение BC подставим во второе уравнение:

2 * x + √ (32 * x - 64) = 9;

√ (32 * x - 64) = 9 - 2 * x;

32 * x - 64 = 81 - 36 * x + 4 * x²;

4 * x² - 36 * x - 32 * x + 81 + 64 = 0;

4 * x² - 68 * x + 145 = 0.

D = 68² - 4 * 4 * 145 = 4624 - 2320 = 2304.

x₁ = (68 - √2304) / (2 * 4) = (68 - 48) / 8 = 20/8 = 2,5.

x ₂ = (68 + √2304) / (2 * 4) = (68 + 48) / 8 = 116/8 = 14,5.

3. Найдем длину сторон BC и AC.

3.1. 2 * x₁ + AC₁ = 8;

2 * 2,5 + AC₁ = 8;

AC₁ = 8 - 5;

AC₁ = 3.

2 * x₂ + AC₂ = 8;

2 * 14,5 + AC₂ = 8;

AC₂ = 8 - 29;

AC₂ = - 21 нет смысла.

3.2. 2 * x₁ + BC₁ = 9;

2 * 2,5 + BC₁ = 9;

BC₁ = 9 - 5;

BC₁ = 4.

2 * x₂ + BC₂ = 9;

2 * 14,5 + BC₂ = 9;

BC₂ = 9 - 29;

BC₂ = - 20 нет смысла.

4. По теореме Пифагора:

AB = √ (AC² + BC²) = √ (3² + 4²) = √ (9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: AC = 3, BC = 4, AB = 5.