боковая поверхность конуса разрезана по его образующей и затем развёрнута так, что образовался круговой сектор. определите радиус основания взятого конуса, если радиус полученного сектора равен 20 см, а его центральный угол составляет 1) 45 градусов. 2) 60 градусов. 3) 90 градусов

Получившийся сектор имеет длину дуги, равную части окружности, радиус которой равен 20 см. И эта же часть равна доле центрального угла в этой окружности.

Длину дуги находим по формуле:

l = π * R * α / 180°.

В данной задаче длина дуги получившегося сектора - это ещё и длина окружности основания конуса, которую находим по формуле:

C = 2 * π * r.

Рассмотрим каждый конкретный случай:

1.

l₁ = π * R * α / 180° = π * 20 * 45° / 180° = 5π;

l₁ = C₁ = 2 * π * r₁ = 5π → r₁ = 5π / 2π = 2,5 (см).

Ответ: радиус основания конуса 2,5 см.

2.

l₂ = π * R * α / 180° = π * 20 * 60° / 180° = 20π/3;

l₂ = C₂ = 2 * π * r₂ = 20π/3 → r₂ = 20π/3 / 2π = 3 1/3 (см).

Ответ: радиус основания конуса 3 1/3 см.

3.

l₃ = π * R * α / 180° = π * 20 * 90° / 180° = 10π;

l₃ = C₃ = 2 * π * r₃ = 5π → r₃ = 10π / 2π = 5 (см).

Ответ: радиус основания конуса 5 см.