В треугольнике АВС угол А прямой. Докажите, что прямая АС касается окружности с центром в точке Б и радиусом АВ

Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью - это касательная, общая точка - точкой касания.

Известно, что:

АВ - перпендикулярна АС (по условию задачи).

АВ - радиус окружности.

Ав с прямой АС составляет прямой угол.

Точка А - общая точка окружности и АС, т. к. иначе у окружности имелся бы еще один радиус - длиннее АВ, а у треугольника АВ - еще одна вершина А, чего быть не может.