Найдите острые углы прямоугольного треугольника с гипотенузой 32 см, зная, что его площадь равна 128 см2.

Обозначим катеты данного прямоугольного треугольника через а и b.

Так как площадь этого треугольника равна 128 см^2, а гипотенуза равна 32 см, то имеют место следующие соотношения:

а * b / 2 = 128;

a^2 + b^2 = 32^2.

Решаем полученную систему уравнений.

Умножая обе части первого уравнения на 4 и складывая полученное соотношение со вторым уравнением, получаем:

a^2 + b^2 + 4 * (а * b / 2) = 32^2 + 4 * 128;

a^2 + b^2 + 2 а * b = 1024 + 512;

(a + b) ^2 = 1536;

a + b = 16√6.

Умножая обе части первого уравнения на 4 и вычитая полученное соотношение из второго уравнением, получаем:

a^2 + b^2 - 4 * (а * b / 2) = 32^2 - 4 * 128;

a^2 + b^2 - 2 а * b = 1024 - 512;

(a - b) ^2 = 512;

a - b = 16√2.

Складывая соотношения a + b = 16√6 и a - b = 16√2, получаем:

а + b + a - b = 16√6 + 16√2;

2a = 16√6 + 16√2;

a = (16√6 + 16√2) / 2 = 8√6 + 8√2.

Находим b:

b = 16√6 - а = 16√6 - (8√6 + 8√2) = 8√6 - 8√2.

Находим синус угла α, лежащего напротив катета а:

sin (α) = (8√6 + 8√2) / 32 = (√6 + √2) / 4.

Находим синус угла β, лежащего напротив катета b:

sin (β) = (8√6 - 8√2) / 32 = (√6 - √2) / 4.

Следовательно, α = arcsin ((√6 + √2) / 4) и β = arcsin ((√6 - √2) / 4).

Ответ: arcsin ((√6 + √2) / 4) и arcsin ((√6 - √2) / 4).