Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь треугольника.

1. Длина медианы, проведенной к стороне а, находится по формуле:

m = (√ (2b^2 + 2c^2 - a^2)) / 2.

По условию b = 34, с = 32, m = 17.

Подставим известные значения в формулу и найдем длину третьей стороны треугольника:

(√ (2*34^2 + 2*32^2 - a^2)) / 2 = 17;

√ (2*1156 + 2*1024 - a^2) = 34 (по пропорции);

2312 + 2048 - a^2 = 1156;

4360 - a^2 = 1156;

- a^2 = 1156 - 4360;

- a^2 = - 3204;

a^2 = 3204;

а = √3204;

а = 6√89.

2. Площадь треугольника по формуле Герона:

S = √р (р - а) (р - b) (р - с),

где р - полупериметр.

Полупериметр:

р = (а + b + с) / 2 = (6√89 + 34 + 32) / 2 = (6√89 + 66) / 2 = 3√89 + 33.

Найдем площадь:

S = √ (3√89 + 33) (3√89 + 33 - 6√89) (3√89 + 33 - 34) (3√89 + 33 - 32) = √ (3√89 + 33) (33 - 3√89) (3√89 - 1) (3√89 + 1) = √ (33^2 -

(3√89) ^2) ((3√89) ^2 - 1^2) = √ (1089 - 9*89) (9*89 - 1) = √ (1089 - 801) (801 - 1) = √288*800 = √230400 = 480.

Ответ: S = 480.