Найдите площадь треугольника, если две стороны его равны 27 и 29, а медиана, проведенная к третьей, равна 26.

Дан △ABC: AB = 27 и AC = 29 - две стороны, AM = 26 - медиана, проведенная к стороне BC.

1. Длина медианы треугольника находится по формуле:

m = √ (2 * a² + 2 * b² - c²) / 2,

где c - сторона, к которой проведена медиана, a и b - другие стороны треугольника.

Тогда:

√ (2 * AB² + 2 * AC² - BC²) / 2 = AM.

Подставим известные значения и найдем длину стороны BC:

√ (2 * 27² + 2 * 29² - BC²) / 2 = 26;

√ (2 * 729 + 2 * 841 - BC²) = 2 * 26 (по пропорции);

√ (1458 + 1682 - BC²) = 52;

√ (3140 - BC²) = 52 (возведем обе части в квадрат);

(√ (3140 - BC²)) ² = 52²;

3140 - BC² = 2704;

- BC² = 2704 - 3140;

- BC² = - 436;

BC² = 436;

BC = √ 436;

BC = 2 √ 109.

2. Для нахождения площади △ABC воспользуемся формулой Герона:

S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр.

Полупериметр:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (27 + 2 √ 109 + 29) / 2 = (56 + 2 √ 109) / 2 = 28 + √ 109.

Найдем площадь △ABC:

S = √ ((28 + √ 109) * (28 + √ 109 - 27) * (28 + √ 109 - 2 √ 109) * (28 + √ 109 - 29)) = √ ((28 + √ 109) * (1 + √ 109) * (28 - √ 109) * ( - 1 + √ 109)) = √ ((28² - (√ 109) ²) * ((√ 109) ² - 1²)) = √ ((784 - 109) * (109 - 1)) = √ (675 * 108) = √ 72900 = 270.

Ответ: S = 270.