Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120 градусов. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

АВС - равнобедренный треугольник, АВ = ВС = 4, ∠АВС = 120°.

1. По теореме о сумме углов треугольника:

∠А + ∠В + ∠С = 180°.

∠А = ∠С = х - так как это углы при основании равнобедренного треугольника, ∠В = ∠АВС = 120°. Тогда:

х + 120° + х = 180°;

2 х = 180° - 120°;

2 х = 60°;

х = 60°/2;

х = 30°.

∠А = ∠С = х = 30°.

2. Из вершины В к основанию АС проведем высоту ВН. Так как △АВС равнобедренный, то ВН и высота, и медиана, и биссектриса.

Рассмотрим △АНВ: ∠АНВ = 90°, ∠НАВ = 30°, АВ = 4 - гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике напротив угла, равного 30°, лежит катет, который в 2 раза меньше гипотенузы. Тогда:

ВН = АВ/2;

ВН = 4/2;

ВН = 2.

3. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника находится по формуле:

R = b² / 2h,

где b - длина боковой стороны, h - высота, проведенная к основанию.

Найдем радиус:

R = 4² / 2*2 = 16/4 = 4.

4. Диаметр окружности равен:

D = 2R;

D = 2*4 = 8.

Ответ: D = 8.