Точка K лежит на стороне AB треугольника ABC с углом 120 градусов при вершине C. В треугольники AKC и BKC вписаны окружности с центрами O и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC, если OK = 6, KQ = 7.

Т. к. радиусы в одной и той же окружности равны, OK = OC = 6 и KQ = QC = 7. Треугольник OKC - равнобедренный и OQ - перпендикуляр = > OQ - биссектриса = > углы KOQ и QOC равны. Из таких же рассуждений находим, что углы KQO и QOC равны. Пусть углы QOC и QOC (и все им равные углы) равны a и b соответственно. Тогда угол KOC равен 2a и KQC равен 2b. Центральный угол KOC опирается на хорду KC. И Вписанный угол KAC опирается на ту же хорду = > AKC = KOC / 2 = 2a / 2 = a. Центральный угол KQC опирается на хорду KC. И вписанный угол KBC опирается на ту же хорду = > KBC = KQC / 2 = b. Т. к. сумма углов треугольника равна 180 градусов, a + b = 60. Угол OCQ = 180 - (a + b) = 120. По теореме косинусов находим OQ. OQ = корень из 127. По формуле Герона находим S oqc. S oqc = (21 * корень из 3) / 2. Радиус описанной окружности возле треугольника R = abc / S. Подставляем все в формулу и получаем, что R = (6 * 7 * кор127) / (21 * кор3 / 2) = кор127 / кор3 = кор381 / 3. Ответ: корень из 381 / 3.