В основании треугольной пирамиды лежит прямоугольный треугольник с прямым углом С и катетами 3 и 4. Высота пирамиды SC равна 8. Плоскость, проходящая через ребро SC, дает в пересечении с пирамидой треугольник SDC наименьшей площади. Найдите площадь этого сечения.

АС = 3,

СВ = 4,

h = SC = 8.

Плоскость, что разрезает пирамиду по высоте SC, образовывает треугольник SCD, где ∠ С = 90 °, а основу пирамиды АВС делит на два прямоугольных треугольника ADC и CDB, где ∠ D = 90 °.

S = 1/2 * SC * CD,

CD² = СВ² - DB²,

CD² = AC² - AD₂,

DB = x, AD = AB - x = √ (3² + 4²) - x = 5 - x,

СВ² - DB² = AC² - AD₂,

4² - х² = 3² - (5 - x) ²,

16 - х² = 9 - 25 + 10 х - x²,

10 х = 32,

х = 3, 2.

CD = √ (СВ² - DB²) = √ (16 - 3, 2²) = 2, 4.

S = 1/2 * SC * CD = 1/2 * 8 * 2, 4 = 9, 6.