Биссектрисы АМ и ВК равностороннего треугольника АВС переекаются в точке О. Докажите, что АО: ОМ = 2 : 1.

Опишем окружность вокруг треугольника АВС, тогда АО = R - радиус окружности.

Теперь рассмотрим окружность внутри треугольника, ОМ = r - радиус вписанной окружности в треугольник.

Пусть стороны треугольника АВС равны а.

Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника по теореме синусов равен:

R = a / (2*sinα), и так как треугольник АВС равносторонний, то все углы равны 60 градусов, значит α = 60 градусов.

R = a / (2*sin60) = a / (2*√3/2) = a/√3.

Найдем радиус вписанной окружности из треугольника АОK по теореме Пифагора:

ОК = r, AO = R, АК = а/2.

Тогда

r^2 = R^2 - (a^2) / 4;

r^2 = (a^2) / 3 - (a^2) / 4;

r^2 = (a^2) / (3*4);

Значит, r = a / (2√3).

Таким образом, АО/ОМ = R/r = (a/√3) / (a / (2√3)) = 2:1.

Утверждение доказано.