Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100. Ее большая боковая сторона равна 45. Найдите радиус окружности.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, ее периметр р=100, большая боковая сторона АВ=45, в нее вписана окружность радиусом R, найдем этот радиус.

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона CD, перпендикулярна основаниям, тогда большая боковая сторона АВ=45.

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, необходимым условием будет то, что сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон:

АВ+CD = BC+AD.

AB=BC+AD-CD.

45=BC+AD-CD.

AD=45-BC+CD.

Выражение для определения периметра:

p=АВ+CD+BC+AD.

100=45+CD+BC+AD.

55=CD+BC+AD.

Подставим в это выражение AD:

55=CD+BC+AD=CD+BC+45-BC+CD.

55=45+2*CD.

55-45=2*CD.

CD=10/2=5.

Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен меньшему основанию, найдем радиус:

R=d/2=CD/2=5/2=2,5.

Ответ: радиус окружности 2,5.