Найдите объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой = b, и образует угол α с площадью основания пирамиды.

Объем вычисляется по формуле: V=h*a^2/4 корня из 3. Найдем высоту пирамиды из прямоугольного треугольника образованного высотой, апофемой и основанием: sinα=h/b = > h=sinα*b.

Высота опускается в центр основания - точку, равноудаленную от всех вершин. То есть h1=2*h*cosα=2sinα*b*cosα, где h1-высота основания пирамиды. Углы при основании треугольника = 60 гр. ctg60 = (a/2) / h1. Отсюда a=2*h1*ctg60. Подставляем в формулу V=sinα*b * (2*2*sinα*b*cosα*ctg60) ^2/4 корня из 3=4b^3*sinα^3*cosα^2/3 корня из 3.