В треугольнике АВС точка М принадлежит стороне ВС. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке Р. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке R. Какую часть АС составляет отрезок AR, если АМ: МВ=3 : 5 и NC : BN = 3 : 2?

Question

Степан Губанов

Геометрия

9 сентября, 08:10

В треугольнике АВС точка М принадлежит стороне ВС. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке Р. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке R. Какую часть АС составляет отрезок AR, если АМ: МВ=3 : 5 и NC : BN = 3 : 2?

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Nekke · Answer 1

1. Проведем через т. В прямую f, параллельную АС.

2. AN пересекается с f в точке Q.

3. СМ пересекается с f в точке F.

4. Треугольник BNQ подобен треугольнику ANC по двум углам. Тогда BQ/AC = BN/NC = 2/3. Следовательно, АС = 3/2 BQ.

5. Треугольник FBM подобен треугольнику AMC по двум углам. Тогда FB/AC = MB/AM = 5/3. Следовательно, FB = 5/3 AC.

6. Из (4) и (5) следует, что FB = 5/3 * 3/2 * BQ = 5/2 BQ. Следовательно, BQ = 2/5 * FB = 2/5 * 5/3 * AC = 2/3 * AC.

7. Треугольник FPQ подобен треугольнику CPA по двум углам. Тогда QF/AC = FP/CB = PQ/PA.

QF = FB + BQ = 5/3 * AC + 2/3 * AC (Из (5) и (6)) = 7/3 * АС.

QF/AC = 7/3 * AC/AC = 7/3 = FP/CP.

8. Треугольник FBP подобен треугольнику CRP по двум углам. Тогда FP/CP = FB/CR.

Из (7) FB/CR = 7/3.

Из (5) FB = 5/3 * AC.

Тогда CR = 3 * FB/7 = 3 * 5/3 * AC/7 = 5/7 * AC.

9. Если СR = 5/7 * АС, то AR = 2/7 * AC, поскольку АС = AR + CR.

Следовательно, AC/AR = AC / (2/7 * AC) = 7/2, что и требовалось найти.