В прямоугольную трапецию вписана окружность, радиус которой равен 3 дм. Найдите периметр трапеции, если разность большего и меньшего основания равна 8 дм.

В четырехугольник можно вписать окружность только если суммы длин его противолежащих сторон равны. Следовательно, если в трапецию вписана окружность, то сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон. Высота трапеции, а в данном случае и боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна диаметру вписанной окружности: h=2r=6 дм.

Разность длин большего и меньшего оснований - это проекция наклонной боковой стороны на большее основание.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором наклонная боковая сторона трапеции - гипотенуза, катеты - высота трапеции и проекция боковой стороны. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, значит квадрат боковой стороны равен 6^2+8^2=36+64=100, боковая сторона √100=10 дм.

Сумма длин боковых сторон: 6+10=16 дм. Значит, сумма длин оснований тоже равна 16 дм, соответственно периметр трапеции равен 16+16=32 дм.