Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 8, а боковое ребро равно 10.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, проекция бокового ребра такой пирамиды равна радиусу окружности, описанной около основания, высота пирамиды опускается в центр основания. Боковое ребро, его проекция и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник, следовательно, квадрат радиуса описанной окружности можем найти как разность квадратов бокового ребра и высоты:

R² = L² - h² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36 = 6²;

R = 6 - радиус описанной около основания окружности.

Сторона правильного треугольника определяется через радиус описанной окружности по формуле:

a = R√3 = 6√3.

Все углы правильного треугольника равны 60°, его площадь найдем как половину произведения квадрата стороны на синус угла:

S = 0,5 * a² * sin 60° = 0,5 * (6√3) ² * √3 / 2 = 0,5 * 36 * 3 * √3 / 2 = 27√3.

Объем равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = S * h / 3 = 27√3 * 8 / 3 = 72√3 ≈ 124,7 - искомый объем пирамиды.