Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота делит её пополам.

Треугольник обозначим ABC. Пусть высота, разбивающая основание, будет BT, а вторая высота CX. Обозначим точку в которой они пересекаются за M. По условию BM = MT. Прямоугольные треугольники MBX и ABT подобны (признак подобия первый). Треугольники MCT и MBX также подобны (признак подобия первый). Значит треугольники ABT и MCT тоже подобны.

Получаем AT/MT = BT/TC;

8/MT = BT/9;

8/MT = 2*MT/9;

8*9 = 2*MT*MT;

36 = MT*MT;

MT = 6;

BT = 2*MT = 12.

Ответ: длина высоты BT = 12.