Стороны треугольника 13 см 14 см и 15 см. Точка M расположена вне плоскости треугольника, удалена от всех сторон треугольника на 5 см. Определить расстояние от точки M до плоскости треугольника.

Соединим точку М с вершинами треугольника и получим пирамиду, в которой нам по условию известна апофеме:

f = 5 (см).

Опустим перпендикуляр из точки М на плоскость треугольника - это высота пирамиды h, которую надо найти.

Основание высоты - это центр вписанной окружности в данный треугольник, находим радиус.

р = 1/2 (13 + 14 + 15) = 21 (см).

r = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p) = √ (336 / 21) = √16 = 4 (см).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором известна гипотенуза - апофема и катет - радиус.

По теореме Пифагора находим катет - высоту:

h = √ (f² - r²) = √ (25 - 16) = √9 = 3 (см).

Ответ: расстояние от точки М до плоскости 3 см.