Найдите площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 3 см меньше гипотенузы, а второй катет на 6 см меньше гипотенузы

Обозначим гипотенузу за x. Тогда так как один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см меньше гипотенузы, то этот катет можно обозначить как (x - 3). Так как второй катет на 6 см меньше гипотенузы, то его можно обозначит как (x - 6).

По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Воспользуемся этой формулой и составим уравнение:

(x - 3) ^2 + (x - 6) ^2 = x^2.

По формуле квадрата разности (a - b) ^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2, тогда:

x^2 - 6 * x + 9 + x^2 - 12 * x + 36 = x^2;

2 * x^2 - 18 * x + 45 - x^2 = 0;

x^2 - 18 * x + 45 = 0 - квадратное уравнение.

По формуле дискриминанта D = b^2 - 4 * a * c = 18^2 - 4 * 1 * 45 = 144.

Найдём корни квадратного уравнения:

x1 = ( - b + √D) / (2 * a) = (18 + 12) / 2 = 15;

x2 = ( - b - √D) / (2 * a) = (18 - 12) / 2 = 3 - не удовлетворяет, так как x2 - 3 = 3 - 3 = 0 (катет не может быть равным 0); x2 - 6 = 3 - 6 = - 3 (катет не может быть равным отрицательному числу).

Значит гипотенуза равна x = 15, при этом катеты: 15 - 3 = 12; 15 - 6 = 9.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * 12 * 9 = 6 * 9 = 54.