В трапеции АВСД с основаниями АД и ВС диагонали пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 4, площадь треугольника АОД равна 9. Найдите площадь трапеции

Проведем высоты треугольников OK - высота треугольника BOC, ON - высота треугольника AOD. NK - высота трапеции.

Рассмотрим треугольник BOC:

S1 = 1/2*BC*OK;

Выразим OK, получим:

OK = 2*S1/BC;

Рассмотрим треугольник AOD:

S2 = 1/2*AD*NO;

NO = 2*S2/AD;

Треугольники AOD и BOC,
AD^2/BC^2=S1/S2.

AD=2*BC/3

Подставим это в выражение для NO:

NO = 2*S2 / (2*BC/3) = 3*S2/BC;

NK=NO+OK = (3*S2/BC) + (2*S1/BC) = (3*S2+2S1) / BC;

Найдем площадь трапеции:

S = (a+b) * h/2;

S = (AD+BC) * NK/2 = (((2*BC+3BC) / 3) * (3*S2+2S1) / BC) / 2 = (2*5*BC/3) * (12+18) / BC=100 см^2.

Ответ: S=100 см^2.