В треугольнике АВС АВ=ВС=35, АС=42. Найдите длину медианы ВМ.

Поскольку АВ=ВС, очевидно, что треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС и вершиной В. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины к основанию, совпадают. Значит, ВМ - высота, перпендикулярная основанию АС и делящая его пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, в котором АВ - гипотенуза, ВМ и АМ - катеты, причем АМ=АС/2.

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: ВМ^2+AM^2=AB^2. Отсюда ВМ^2=AB^2-AM^2;

BM^2=AB^2 - (AC/2) ^2=35^2 - (42/2) ^2=35^2-21^2=1225-441=784;

BM=√784=28.