Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45 градусов

Объем правильной четырехугольной пирамиды определяется как треть произведения площади основания на высоту:

V = S_осн * h / 3.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, диагональ которого равна 4 см. Диагональ квадрата и две стороны образуют прямоугольный треугольник, поэтому:

a² + a² = d²;

a² = d² / 2 = 16 / 2 = 8.

Площадь квадрата равна квадрату стороны, значит:

S_осн = a² = 8 см².

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, вершина пирамиды проецируется в эту точку. Боковое ребро пирамиды, высота и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, следовательно, этот треугольник является также и равнобедренным, а значит половина диагонали основания равна высоте пирамиды:

h = d / 2 = 4 / 2 = 2 см.

V = S_осн * h / 3 = 8 * 2 / 3 = 16 / 3 = 5,33 см³.