Длины сторон оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 8 см и 4 см. Боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол в 60 градусов. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть большее основание пирамиды ABCD, меньшее основание пирамиды A'B'C'D'. По условию пирамида правильная, а значит ABCD, A'B'C'D' - квадраты.

Объем урезанной правильной пирамиды равен:

V = (1/2) * (h * (S1+√ (S1*S2) + S2));

Найдем площади оснований:

S1=8*8=64 см^2;

S2=4*4=16 см^2;

Проведем диагонали в основаниях, диагонали большего пересекаются в точке О, меньшего в точке О', отрезок ОО' - высота урезанной пирамиды, OО' = h;

Найдем диагонали оснований

d = a*√2;

d1 = 8*√2;

d2 = 4√2;

У нас получилась прямоугольная трапеция, AA'O'O, углы О, О' равны 90 градусов. Угол А равен 60 градусов, как боковое ребро к большему основанию.

A'O' = d2/2 = 2√2;

AO = d1/2 = 4√2;

Проведем высоту этой трапеции A'K, образованный треугольник АA'K - прямоугольный, угол К - 90 градусов, АК = АО-A'O' = 4√2-2√2 = 2√2.

tg 60=A'K/AK;

A'K' = tg 60*AK = √3*2√2 = 2√6.

Найдем объем:

V = (1/2) * 2√6 (64+√ (64*16) + 16) = 112*√6=274.3 см^3

Ответ: V = 274.3 см^3.