Плоскость альфа через сторону АС треугольника АВС. Прямая пересекает стороны АВ и ВС данного треугольника в точках M и N соответственно, причём BN:NC=2:3, AM:AB=3:5. Докажите, что MN параллельна альфе. Найдите MN, если АС=30 см.

BN относится к NC как 2 к 3, то NC относится к BC как 3 к 5.

Естественно, что BN относится к BC как 2 к 5.

То же соотношение и со стороной АВ и M:

AM относится к AB как 3 к 5; а MB относится к AB как 2 к 5.

Целесообразно, что отрезок MN делит боковые стороны треугольника ABC пропорционально.

Следовательно, MN || AC || a.

Т. к. MN || AC, то MBN такой же, как ABC.

У боковых сторон треугольника соразмерно 2 к 5, естественно, что длина MN = AC : 5 * 2 = 30 : 5 * 2 = 12 см.

Ответ: MN = 12 см.