Какое наибольшее значение может принимать отношение наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю двух натуральных чисел, если сами числа относятся как 39:69?

Решение.

Пусть первое неизвестное число х = 39 ∙ k, где коэффициент пропорциональности k∈ N, тогда второе число будет у = 69 ∙ k, так как из условия задачи известно, что сами числа относятся как 39 : 69. Разложим эти числа на простые множители: х = 39 ∙ k = 3 ∙ 13 ∙ k и у = 69 ∙ k = 3 ∙ 23 ∙ k. Найдём наименьшее общее кратное этих чисел НОК (х; у) = 3 ∙ 13 ∙ 23 ∙ k и наибольший общий делитель НОД (х; у) = 3 ∙ k. Чтобы определить, какое наибольшее значение может принимать отношение наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю двух натуральных чисел, найдём частное:

(3 ∙ 13 ∙ 23 ∙ k) / (3 ∙ k) = 13 ∙ 23 = 299.

Ответ: отношение наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю двух данных натуральных чисел равно 299.