Докажите, что выражение (3x-2) (3x+2) - 4 (2x^2-3) при любых значениях переменной принимает лишь положительные значения.

1) Преобразуем заданное выражение:

(3 х - 2) (3 х + 2) - 4 * (2 х^2 - 3) = ((3x) ^2 - 2^2) - 4 * 2x^2 - 4 * (-3) =

= (9x^2 - 4) - 8x^2 + 12 = 9x^2 - 4 - 8x^2 + 12 = x^2 + 8.

2) Известно, что квадрат любого числа - положительное число, х ≥ 0:

при х = - 1

х^2 = - 1 * (-1) = 1, х^2 > 0;

при х = 0

х^2 = 0 * 0 = 0, x^2 = 0;

при х = 1

х^2 = 1 * 1 = 1, х^2 > 0.

3) В результате преобразования исходного выражения получили выражение, состоящее из двух положительных слагаемых, их сумма тоже будет являться положительным числом.

Поэтому выражение (3 х - 2) (3 х + 2) - 4 * (2 х^2 - 3) будет принимать положительные значения при любых значениях х.