Объясните, как находить область значений функции, не строя график, например у функции f (x) = - x^2 + 5x + 4

Нужно знать свойства элементарных функций.

Например, данная функция f (x) = - x² + 5 * x + 4 является ничем иным, как параболой, ветви направлены вниз, т. к. а < 0.

Чтобы найти область её значений, нужно узнать, где она убывает и где возрастает, точку экстремума, где производная этой функции меняет свой знак.

f' (x) = - 2 * x + 5, f' (x) = 0,

- 2 * x + 5 = 0,

x = 2,5.

f' (0 2,5) = - 1.

Производная меняет свой знак с "плюса" на "минус" в точке экстремума, следовательно, исходная функция f (x) возрастает на промежутке (-∞; 2,5] и убывает на [2,5; + ∞).

Поэтому в точке х = 2,5 f (x) достигает максимального значения: f (2,5) = 10,25.

Поэтому область значений будет такая (-∞; 10,25].