Решите уравнение "тригонометрическая функция"2 sin²x+3cos x = 0

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

2sin²х + 3cosx = 0;

sin²x = 1 - cos²x;

2 (1 - cos²x) + 3cosx = 0;

2 - 2cos²x + 3cosx = 0;

- 2cos²x + 3cosx + 2 = 0;

2cos²x - 3cosx - 2 = 0;

Выполним замену сosx = а, |а| ≤ 1:

2 а² - 3 а - 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25;

D › 0, значит:

а1 = ( - b - √D) / 2a = (3 + √25) / 2 * 2 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2, не подходит по условию замены;

а2 = ( - b + √D) / 2a = (3 - √25) / 2 * 2 = (3 - 5) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

Если а = - 1/2, то:

сosx = - 1/2;

х = ± arccos ( - 1/2) + 2πn, n ∈ Z;

х = π ± arccos (1/2) + 2πn, n ∈ Z;

х = π ± π/3 + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х = π ± π/3 + 2πn, n ∈ Z.