Решите уравнение √ ((2^1+2x) - 1) = 2-2^x

√ (2^ (1 + 2x) - 1) = 2 - 2^x.

Распишем степени:

√ (2^1 * 2^2x - 1) = 2 - 2^x;

√ (2 * (2^x) ^2 - 1) = 2 - 2^x.

Введем новую переменную, пусть 2^x = а (a > 0).

√ (2 а^2 - 1) = 2 - а.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√ (2 а^2 - 1)) ^2 = (2 - а) ^2;

2 а^2 - 1 = 4 - 4 а + а^2;

2 а^2 - 1 - 4 + 4 а - а^2 = 0;

а^2 + 4 а - 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 4; c = - 5;

D = b^2 - 4ac; D = 4^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 (√D = 6);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (-4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5 (не может быть, a > 0).

а₂ = (-4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

Вернемся к замене 2^x = а:

2^x = 1; 2^x = 2^0 (любое число в нулевой степени равно 1).

Отсюда х = 0.

Ответ: корень уравнения равен 0.