4 tg ^2x+3/cos^2x+3 = 0

Т. к. по формуле 1 + tg² x = 1 / cos² x, то получим:

4 * tg² x + 3 * (1 + tg² x) + 3 = 0,

4 * tg² x + 3 + 3 * tg² x + 3 = 0,

7 * tg² x = - 6,

tg² x = - 6 / 7.

Т. к. арифметический квадратный корень (и вообще корень чётной степени) не может быть извлечён из отрицательного числа, то данное тригонометрическое уравнение решений не имеет.

Ответ: нет корней.