Докажите, что если одно из двух натуральных чисел при делении на 5 даёт остаток 3, а другое - остаток 1, то сумма их квадратов делится на 5.

Если натуральное число А при делении на 5 даёт остаток 3, то его можно записать:

А = 5 * m + 3, где m - натуральное число.

Если натуральное число B при делении на 5 даёт остаток 1, то его можно записать:

B = 5 * n + 1, где n - натуральное число.

Рассмотрим сумму квадратов A и B:

A^2 + B^2 = (5 * m + 3) ^2 + (5 * n + 1) ^2 =

= (25 * m^2 + 30 * m + 9) + (25 * n^2 + 10 * n + 1) =

= 25 * m^2 + 30 * m + 25 * n^2 + 10 * n + 10 =

= 5 * (5 * m^2 + 6 * m + 5 * n^2 + 2 * n + 2).

Следовательно A^2 + B^2 = 5 * p, где p = 5 * m^2 + 6 * m + 5 * n^2 + 2 * n + 2 - натуральное число. Отсюда вытекает, что ^2 + B^2 делится на 5, что и требовалось доказать.