Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 3 см. Меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая боковая сторона образует с основанием ∡45°. Найди площадь трапеции.

Для начала начертим трапецию АБСД и запишем Дано.

Дано:

прямоугольная трапеция АБСД; АБ=3 см; АД=12 см; кут ДСБ=45 градусов

В соответствии с формулой, площадь трапеции: (АБ+ДС) / 2 * АД.

Нам известно значение АБ и АД и неизвестно ДС.

Нам нужно найти сторону ДС.

Для начала найдем кут Б. Известно, что сумма кутов трапеции = 360 градусов.

360 градусов - кут А (90) = кут Д (90) - кут С (45) = 135 градусов = кут Б

Далее проведем из кута Б высоту БТ на сторону ДС. Мы получили прямоугольник АБТД, так как все куты = 90 градусов.

Мы знаем, что в прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому:

АБ=ДТ=3 см; АД=БТ=12 см.

Чтобы найти сторону ДС, нужно найти значение ДТ и ТС. Значение ДТ у нас есть, поэтому следующим шагом узнаем ТС.

У нас есть два способа найти ТС:

1) через синус и теорему пифагора;

2) через теорему про равнобедренный трегуольник.

Изначально я использовала первый способ, но так как он занимает слишком много времени, в этот раз вопсользуемся вторым.

Для этого рассмотрим треугольник БСТ.

Сумма всех кутов треугольника = 180 градусов, поэтому:

180 градусов - кут С (45) - кут Т (90 градусов) = 45 градусов.

БСТ - равнобедренный. (Кстати, к этому выводу можно было прийти и с помощью смежных кутов)

В соответствии с теоремой, боковые стороны такого треугольника равны:

БТ=ТС=12 см.

Теперь мы можем найти сторону ДС:

ДТ+ТС=3 см+12 см=15 см

Нам осталось лишь подставить нужные значения под формулу:

(АБ+ДС) / 2 * АД (БТ) = (3 см + 15 см) / 2 * 12 см = 108 см в квадрате.

Ответ: площадь трапеции АБСД = 108 см в квадрате.