Tg5x-ctg3x=0 Решите уравнение)

По определению tgx = sinx/cosx, ctgx = cosx/sinx поэтому перепишем уравнение tg5x - ctg3x = 0 как sin5x/cos5x - cos3x/sin3x = 0.

Приведем к общему знаменателю и вычтем из первой дроби вторую.

(sin5x * sin3x - cos3x * cos5x) / (cos3x * sin5x) = 0.

Применим формулу: cosαcosβ - sinαsinβ = cos (α + β).

-cos (5x - 3x) / (cos3x * sin5x) = 0 → - cos2x / (cos3x * sin5x) = 0.

Известно, что дробное выражение равно нулю тогда, когда числитель дроби будет равен нулю, поэтом при условии, что cos3x ≠ 0 и sin5x ≠ 0 решим уравнение сos2x = 0.

2x = π/2 + π, n ∈ Z, x = π/4 + π/2, n ∈ Z.