Решите уравнение (x^2-2x+1) ^2=1

Способ выделения квадрата двучлена

a) Выражение в скобках является полным квадратом двучлена:

(x^2 - 2x + 1) ^2 = 1; ((x - 1) ^2) ^2 = 1.

b) При возведении степени в степень, показатели умножаем, а основание оставляем без изменения:

(a^m) ^n = a^ (mn);

(x - 1) ^ (2 * 2) = 1; (x - 1) ^4 = 1. (1)

c) Уравнение (1) имеет два решения:

1) x - 1 = - 1;

x = 1 - 1; x = 0;

2) x - 1 = 1;

x = 1 + 1; x = 2. Способ разложения на множители

a) Разложим на множители, используя формулу для разности квадратов двух выражений:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b);

(x^2 - 2x + 1) ^2 = 1; (x^2 - 2x + 1) ^2 - 1^2 = 0; (x^2 - 2x + 1 + 1) (x^2 - 2x + 1 - 1) = 0; (x^2 - 2x + 2) (x^2 - 2x) = 0.

b) Приравняем каждый из множителей к нулю:

[x^2 - 2x + 2 = 0;

[x^2 - 2x = 0.

c) Решим уравнения раздельно:

1) x^2 - 2x + 2 = 0. (2)

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 2 = 4 - 8 = - 4 < 0.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение (2) не имеет решения.

2) x^2 - 2x = 0.

x (x - 2) = 0;

[x = 0;

[x - 2 = 0; [x = 0;

[x = 2.

Ответ. Уравнение имеет два действительных корня: 0 и 2.

(х² - 2 * х + 1) ² = 1.

Так как содержимое скобок в левой части уравнения в квадрате равно 1, то получаем два уравнения:

х² - 2 * х + 1 = 1 или х² - 2 * х + 1 = - 1.

Решим первое уравнение:

х² - 2 * х + 1 - 1 = 0,

х² - 2 * х = 0,

х * (х - 2) = 0.

Данное уравнение имеет два решения х = 0 и х = 2.

Решим второе уравнение:

х² - 2 * х + 1 = - 1,

х² - 2 * х + 2 = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

D = (-2) ² - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = - 4.

Так как дискриминант отрицательное число, то уравнение решений не имеет.

Таким образом исходное уравнение имеет два решения: х = 0 и х = 2.