Решите уравнение: 2sin^2 х-cosх-1=0

Преобразуем тригонометрическое уравнение:

2sin² х - cos x - 1 = 0;

Воспользуемся формулой основного тождества тригонометрических функций:

sin² x = 1 - cos² x;

2 (1 - cos² x) - cos x - 1 = 0;

2 - 2cos² x - cos x - 1 = 0;

- 2cos² x - cos x + 1 = 0;

2cos² x + cos x - 1 = 0;

Заменим сos x = с, |с| ≤ 1:

2 с² + с - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (1) ² - 4 * 2 * ( - 1) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит:

с1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 1 - √9) / 2 * 2 = ( - 1 - 3) / 4 = - 4 / 4 = - 1;

с2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 1 + √9) / 2 * 2 = ( - 1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2;

Если с1 = - 1:

сosx = - 1;

Аргумент:

х1 = π + 2πn, n ∈ Z;

Если с2 = 1/2:

сosx = 1/2;

х = ± arccos (1/2) + 2πn, n ∈ Z;

х2 = ± π/3 + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π + 2πn, n ∈ Z, х2 = ± π/3 + 2πn, n ∈ Z.