Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объем земляных работ за 2 ч 15 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 6 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объему земляных работ?

1. Обозначим производительность экскаваторов через X и Y, а объем работы через P.

2. Тогда первое уравнение будет иметь вид: P / (X + Y) = 2,25 (вместе за 2 часа 15 минут).

3. Второе уравнение имеет вид: P / X - P / Y = 6 (второй экскаватор на 6 часов быстрее). Умножим обе части уравнения на X * Y. Получим: P * Y - P * X = 6 * X * Y.

4. Из первого уравнения X = P / 2,25 - Y.

5. Подставим это выражение для X во второе уравнение. После арифметических упрощений получим квадратное уравнение: 13,5 * Y^2 - 1,5 * P * Y - P^2 = 0.

6. Дискриминант уравнения D^2 = 2,25 * P^2 + 54 * P^2 = 56,25 * P^2. D = 7,5 * P.

7. Корни уравнения Y = P / 3 и Y = - 6 * P / 27. Отрицательный корень не соответствует условию задачи.

8. Из первого уравнения X = P / 2,25 - P / 3 = 75 * P / 675 = P / 9.

9. Мы определили производительность экскаваторов X и Y. Отсюда первый экскаватор выполнит работу за P / X = P / (P / 9) = 9 часов, а второй - за P / Y = P / (P / 3) = 3 часа.

Ответ: первый экскаватор, работая отдельно, выполнит работу за 9 часов, а второй - за 3 часа.