Найдите наименьшее значение функции f (x) = 2^ (x) + 2^ (2-x) на отрезке [0; 2]

f (x) = 2^x + 2 ^(2-x) ;

1. Найдем производную функции:

f' (x) = 2^x * ln (2) - 2 ^(2-x) * ln (2);

2. Найдем критические точки:

2^x * ln (2) - 2 ^(2-x) * ln (2) = 0;

2^x * ln (2) - 2² / 2^x * ln (2) = 0;

Умножим все выражение на 2^x, получим:

2^{2 х} * ln (2) - 4 * ln (2) = 0;

ln (2) * (2^{2 х} - 4) = 0;

2^{2 х} - 4 = 0;

2^{2 х} = 2²;

2x = 2;

x = 1;

Точка х = 1 входит в заданный промежуток [0; 2].

3. Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка:

f (0) = 2⁰ + 2 ^(2-0) = 5;

f (1) = 2¹ + 2 ^(2-1) = 4;

f (2) = 2² + 2 ^(2-2) = 5.

Итак, из полученных значений наименьшим является 4.

Ответ: 4.