log (основание 3) x+log (основание 3) x-8>2

log₃x + log₃ (x - 8) > 2.

1) ОДЗ:

х > 0.

x - 8 > 0; x > 8.

Общее решение ОДЗ: х принадлежит промежутку (8; + ∞).

2) По правилу сложения логарифма:

log₃ (х (x - 8)) > 2.

Представим число 2 в виде логарифма с основанием 3:

log₃ (х (x - 8)) > log₃9 (так как 3² = 9).

Основание логарифма больше единицы, избавляемся от логарифмов, не меняя знак неравенства:

х (x - 8) > 9.

х² - 8 х - 9 > 0.

Найдем точки пересечения параболы у = х² - 8 х - 9 (ветки вверх) с осью х:

у = 0; х² - 8 х - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100 (√D = 10);

х₁ = (8 - 10) / 2 = - 2/2 = - 1.

х₂ = (8 + 10) / 2 = 18/2 = 9.

Знак неравенства > 0, решением будут промежутки, где парабола идет выше оси х, то есть (-∞; - 1) и (9; + ∞).

3) Объединяем решение ОДЗ и решение неравенства: (8; + ∞), (-∞; - 1) и (9; + ∞).

Ответ: х принадлежит промежутку (9; + ∞).