Применяя определение производной, найти производную функции (1/3) x^3 - 2x

1) Запишем в таком виде:

х ((1/3) x^2 - 2).

2) Производная по определению равна:

(f (x + dx) - f (x)) / dx = ((x + dx) * ((1/3) (x + dx) ^2 - 2) - х ((1/3) x^2 - 2)) / dx;

((x + dx) * (x^2/3 + 2/3 * x * dx + dx^2/3 - 2) - x ((1/3) x^2 - 2)) / dx.

3) Дифференциалами со степенями большими за единицу пренебрегаем, так как это величины более высоких порядков малости:

((х + dx) * (x^2/3 + 2x/3 * dx + 0 - 2) - x (x^2/3 - 2)) / dx;

4) Раскрываем скобки:

(x^3/3 + 2x^2/3 * dx - 2x + x^2/3 * dx + 2x/3 * dx^2 - 2dx - x^3/3 + 2x) / dx;

(x^3 * dx - 2dx) / dx.

5) Почленно делим:

x^3 - 2.

Ответ: x^3 - 2.