Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=x^3-9x^2+24x-18 на отрезке {0; 3}

Найдем производную функции:

у' = 3 х^2 - 18 х + 24.

Найдем точки экстремума функции из уравнения:

3 х^2 - 18 х + 24 = 0;

х^2 - 6 х + 8 = 0;

По теореме обратной теореме Виета х1 = 2; х2 = 4.

х2 = 4 находится за пределами интересующего нас отрезка, поэтому в дальнейшем мы не будем ее рассматривать.

Найдем значения функции на концах отрезка и в точке х1 = 2:

у (0) = 0^3 - 9 * 0^2 + 24 * 0 - 18 = - 18;

у (2) = 2^3 - 9 * 2^2 + 24 * 2 - 18 = 8 - 36 + 48 - 18 = 2;

у (3) = 3^3 - 9 * 3^2 + 24 * 3 - 18 = 27 - 81 + 72 - 18 = 0.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке 2, наименьшее - 18.

Ответ: наибольшее значение функции 2, наименьшее - 18.