Решите тригонометрические уравнения: 3tgx - 5ctgx + 14 = 0

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, применив основное тождество ctgx * tgx = 1:

3tgx - 5 сtgx + 14 = 0;

3tgx - 5/tgx + 14 = 0;

Выполним замену tgx = а:

3 а - 5/а + 14 = 0;

(3 а² + 14 а - 5) / а = 0;

3 а² + 14 а - 5 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 14² - 4 * 3 * ( - 5) = 196 + 60 = 256;

D › 0, значит:

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 14 - √256) / 2 * 3 = ( - 14 - 16) / 6 = - 30 / 6 = - 5;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 14 + √256) / 2 * 3 = ( - 14 + 16) / 6 = 2 / 6 = 1/3;

Если а1 = - 5:

tgx = - 5;

х = arctg ( - 5) + πn, n ∈ Z;

х1 = - arctg (5) + πn, n ∈ Z;

Если а2 = 1/3:

tgx = 1/3;

х2 = arctg (1/3) + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = - arctg (5) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg (1/3) + πn, n ∈ Z.