Трем братьям вместе 60 лет. Сколько лет каждому из них, если 3/4 возраста младшего брата, 3/5 возраста среднего брата и 50% возраста старшего брата выражаются одним и тем же числом? 2) Найдите наименьшее натуральное число такое, что суммы идущих его цифр дают все натуральные числа от 1 до 9. Почему объясните?

1) Под x примем возраст старшего брата, y - среднего, z - младшего.

x+y+z = 60,

3z/4 = 3y/5 = x/2.

x = 3z / 2 = 1,5z.

3z/4 = 3y/5,

y/5 = z/4,

y = 5z/4 = 1,25z.

z + 1,5z + 1,25z = 60.

3,75z = 60.

z = 16,

x = 1,5z = 24,

y = 1,25z = 20.

Ответ: старшему брату 24 года, среднему 20 и младшему - 16.

2)

Искомое число очевидно больше трехзначного. Количество цифр 9, а из цифр трехзначного числа получается максимум 1+2+3 = 6 возможных чисел.

В числе должна присутствовать минимум одна единица, потом либо двойка, либо вторая единица. Единицы в двух первых разрядах дают число явно меньшее, чем любые комбинации 1 и 2.

Поскольку наибольшее требуемое число 9, сумма цифр последних двух разрядов числа должно составлять 7, при этом обеспечивать максимально возможное количество линейных комбинаций помимо первых двух единиц. Среди вариантов 0 + 7, 1 + 6, 2 + 5 и 3 + 4, наиболее перспективно 3 + 4. Действительно, другие вариации цифр частично дублируют комбинации с первыми 2-мя единицами, уменьшая количество возможных вариантов ниже минимальных 9-ти. Следовательно, подходят числа 1143, и 1134.

Проверим меньшее, 1134:

1, 1 + 1 = 2, 3, 4, 1 + 1 + 3 = 5, а вот 6 из суммы идущих подряд цифр уже не получится, нужно "перепрыгивать".

Проверим 1143:

1,

1 + 1 = 2,

3,

4,

1 + 4 = 5,

1 + 1 + 4 = 6,

4 + 3 = 7,

1 + 4 + 3 = 8,

1 + 1 + 4 + 3 = 9.

Ответ: 1143.