1) Написать уравнение касательной y=f (x) = x^2, x0=1 2) Найти промежутки монотонности: y=x^2-5x+4

1) Уравнение касательной имеет вид у = f (x₀) + f' (x₀) (x - x₀).

Так как f (x) = x², вычислим значение функции в точке x₀ = 1.

f (x₀) = f (1) = 1² = 1.

Найдем производную данной функции;

f' (x) = 2x;

f' (x₀) = f' (1) = 1² = 1.

Подставляем найденные значения в формулу уравнения касательной:

у = f (x₀) + f' (x₀) (x - x₀) = 1 + 1 (х - 1) = 1 + х - 1 = х.

Ответ: уравнение касательной имеет вид у = х.

2) Найдем производную данной в задании функции:

y = x² - 5x + 4.

у' = 2 х - 5.

Найдем нули производной, для этого приравняем ее к нулю:

у' = 0; 2 х - 5 = 0.

2 х = 5.

х = 2,5.

Определим знаки производной на каждом промежутке, для этого подставим любое число из промежутка в производную и определим знак выражения.

(-∞; 2,5) пусть х = 0; у' (0) = 2 * 0 - 5 = - 5 (минус).

(2,5; + ∞) пусть х = 3; у' (3) = 2 * 3 - 5 = 1 (плюс).

Если производная плюс, то функция возрастает, если производная минус, то функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке (2,5; + ∞), а убывает на промежутке (-∞; 2,5).