Найти промежутки монотонности y=x^3-3x^2-45x+2

Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = х^3 - 3 х^2 - 45 х + 2 с помощью производной.

1) Найдем производную функции.

у' = (х^3 - 3 х^2 - 45 х + 2) ' = 3 х^2 - 6 х - 45.

2) Найдем нули производной.

3 х^2 - 6 х - 45 = 0;

х^2 - 2 х - 15 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64; √D = 8;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (2 + 8) / 2 = 10/2 = 5;

x2 = (2 - 8) / 2 = - 6/2 = - 3.

3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Отметим на числовой прямой числа (-3) и 5. Они разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; - 3), 2) (-3; 5), 3) (5; + ∞). На 1 и 2 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные.

Если производная принимает положительные значения на промежутке, то на этом промежутке функция возрастает, а если производная на промежутке принимает отрицательные значения, то на этом промежутке функция убывает. Значит на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает.

Ответ. Функция возрастает на (-∞; - 3) ∪ (5; + ∞). Функция убывает на (-3; 5).